Лекторы: Прохоров Ю.Г., Шрамов К.А.

Курс в этом семестре закончен и будет продолжен в следующем семестре.
Для сдачи экзамена необходимо решить 6 задач из списка, при этом из каждого раздела должна быть решена по крайней мере одна задача.  Напоминаем о необходимости регистрации: https://forms.gle/V6CFNYq7sm9hbGbn7






 

Первая лекция: 16 сентября, конф. зал 9-й этаж, 18:00

Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по ссылке: https://forms.gle/V6CFNYq7sm9hbGbn7

Видеозаписи лекций 

Краткое cодержание прочитанных лекций.
Комплексные многообразия и комплексные пространства. Сравнение с алгебраической категорией. Голоморфные и мероморфные функции. Линейные расслоения и дивизоры. Теория пересечений. Экспоненциальная последовательность. Канонический класс.  Формула присоединения. Теорема Римана-Роха. Формула Нетера (без доказательства). Теорема Ходжа об индексе. Терема Тома-Хирцебруха об индексе   (без доказательства).  Модификации. Исключительное множество. Пример: нормализация (только набросок доказательства). Пример: раздутия (двумерный случай). Дивизоры и когомологии раздутий. Поведение канонического класса при раздутиях и произвольных модификациях. Точная последовательность вырезания. Связность исключительного множества. Отрицательная определенность матрицы пересечений.  Критерий Кастельнуово (доказательство стягиваемости только в проективном случае). Мероморфные отображения.  Точки неопределенности.  Разложение бимероморфных отображений поверхностей. Философия минимальных моделей. Численная эффективность канонического класса влечет минимальность. Алгебраическая размерность. Алгебраическая редукция. Связность ее слоев. Случай поверхностей. Критерий проективности компактных комплексных поверхностей. Пример: комплексные торы. Дивизориальные алгебры. Размерность Иитаки. Примеры (\kappa\le 1). Каноническая алгебра. Кодаирова размерность.  Бирациональные инврианты (глобальные голоморфные плриформы и проч.) Примеры вычисления инвариантов (гиперповерхности). Рациональные и унирациональные многообразия. Примеры рациональных поверхностей: поверхности F_n (определение и свойства). Линейчатые поверхности. Поля типа с_1 и рациональные кривые над ними. Критерий рациональности Кастельнуово.  Теорема Люрота. Теория Ходжа на компактных комплексных поверхностях, неравенства между числами Ходжа. Проективность компактной комплексной поверхности с четным первым числом Бетти и нулевым геометрическим родом.Теорема о том, что компактная комплексная поверхность с b_1=0, b_2=1 и P_2=0 изоморфна P^2. Любая деформация P^2 изоморфна P^2. Проективность линейчатых поверхностей. Инвариант e. Оценки на e через род базы. Примеры линейчатых поверхностей над эллиптической кривой. Поверхности Энриквеса. Примеры. Все  поверхности Энриквеса являются факторами поверхностей K3. Набросок доказательства того, что на каждой поверхности Энриквеса есть эллиптическое расслоение. Классификация Кодаиры вырожденных слоев эллиптических расслоений. Формула Кодаиры для канонического класса относительно минимального эллиптического расслоения.Локально тривиальные эллиптические расслоения. Поверхности Кодаиры. Биэллиптические поверхности. Логарифмическое преобразование.

Задачи