Автоморфизмы алгебраических многообразий

Осенний семестр 2014 г.

Курс закончен.

Список задач (версия 12 декабря).

Записки лекций (черновик!)

Прочитанные лекции.
  1. Введение. Автоморфизмы алгебраических кривых. Эллиптические кривые.  Оценка Гурвица. Квартика Клейна.
  2. Строение группы Пикара. Действие группы автоморфизмов на ней. Следствия. Многобразие с численно эффективным каноническим классом не является унилинейчатым.  Автоморфизмы гиперповерхностей и полных пересечений (кроме случая Фано).
  3. Кубические поверхности. Их автоморфизмы.
  4. Поверхности типа К3. Основные свойства. Примеры: полные пересечения и двойные накрытия.
  5. Дальнейшие примеры поверхностей типа К3. Автоморфизмы. Конечные группы автоморфизмов. Автоморфизмы без неподвижных точек.  Поверхности Энриквеса.  Примеры.  Симплектические автоморфизмы. Действия на решетке трансцендентных циклов. Действие на группы автоморфизмов на когомологиях точно. Голоморфная формула Лефшеца о неподвижных точках.
  6. Порядки симплектических автоморфизмов. Понятия о дювалевских особенностях и их разрешениях. Факторы поверхностей типа К3 по различным типам автоморфизмов. Конус Мори поверхности. (-2)-кривые на К3 поверхностях. Конус обильных дивизоров. Описание конусов NE(X) и Amp(X) на поверхностях К3 и абелевых поверхностях. Теорема Нетера-Лефшеца для поверхностей (формулировка).
  7. Пример Фано Севери поверхностей типа К3 с бесконечной группой автоморфизмов. Другие примеры. Минимальные поверхности. Условие численной эффективности канонического класса.  Относительная версия. Минимальное разрешение особенностей поверхностей. Куммеровы поверхности. Примеры (произведения эллиптических кривых и якобианы).  
  8. Снова об автоморфизмах К3 поверхностей с числом Пикара 2 (два примера). Ранг Пикара куммеровых поверхностей. Пример К3 поверхности с максимальным рангом Пикара. Эллиптические пучки на К3 поверхностях. Элементарные сведения. Примеры: куммеровы поверхности и квартики с прямой. Группа Морделла-Вейля поверхностей типа К3. Группа Морделла-Вейляи автоморфизмы.
  9. Минимальные модели поверхностей. Кодаирова размерность и каноническое кольцо. Классификационная теорема. Эллиптические расслоения. Лемма Зарисского. Классификация вырожденных слоев. Кратные слои. Примеры.
  10. Формула для канонического дивизора эллиптических расслоений. Биэллиптические поверхности. Описание.  Примеры.  Автоморфизмы абелевых многообразий. Поверхности Энриквеса. Свойства. Количество параметров. Примеры. Свойства эллиптического пучка на поверхностях Энриквеса.
  11. Решетка Пикара поверхности Энриквеса. Ее свойства. Отражения и группа им порожденная. Существование  эллиптического пучка на поверхностях Энриквеса. Представление общей поверхности Энриквеса в виде "двойной квадрики".
  12. Представление специальных поверхностей Энриквеса. Счет параметров. Снова о решетке Энриквеса. Поверхности Энриквеса без (-2)-кривых (эллиптические пучки, представления в виде "двойной квадрики"). Действия автоморфизмов на группе Пикара. 
  13. Эллиптические поверхности с kappa=1.  Объем линейного расслоения. Многообразия общего типа. Ограниченность группы автоморфизмов (формулировка результата и обсуждение).



back to my homepage