Алгебраические кривые
Спецкурс для начинающих.
Осенний семестр 2014 г.- весенний семестр 2015
г., мех-мат МГУ.
Курс закончен.
Краткое содержание прочитанных лекций.
Осенний семестр.
- Ведение. Алгебраические множества. Кольца. Идеалы.
Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Примеры. Алгебраические
множества. Топология Зарисского. Примеры. Нётеровы кольца.
Примеры. Теорема Гильберта о базисе. Радикал идеала.
Геометрическая форма теоремы Гильберта о нулях. Нётеровы
топологические пространства.
- Радикал идеала. Простые идеалы. Лемма Цорна. Радикал
идеала - пересечение простых его содержащих. Максимальные
идеалы. Теорема Гильберта о нулях (алгебраическая и
геометрические формы). Топология Зарисского на алгебраическом
многообразии. Неприводимые многообразия и размерность
(определения).
- Неприводимые подмножества в нетеровых топологических
пространствах. Разложение на непрриводимые компоненты.
Размерность. Идеал неприводимого аффинного алгебраического
многообразия. Кольцо регулярных функций k[X] аффинного
алгебраического многообразия. Подмногоообразия и идеалы в
k[X]. Поле рациональных функций k(X). Локальное кольцо. Его
максимальный идеал. Пересечение всех локальных колец.
Степень трансцендентности k(X) и размерность
(формулировка).
- Размерность и степень трансцендентности поля функций.
Размерность гиперповерхности. Лемма Э. Нетер о
нормализации. Целые элементы и целозамкнутые кольца. Свойства
идеалов в целозамкнутых кольцах. Геометрическая форма
леммы Нетер о нормализации. Следствия.
- Дифференцирования. Дифференцирования и расширения полей.
Касательное пространство в точке. Различные его
интерпретации. Особые и неособые точки. Множество особых
точек.
- Неособые точки. Комплексные многообразия. Множество неособых
точек является комплексным многообразием. Локальные
параметры. Формальные степенные ряды. Разложение в ряд
Тейлора. Факториальность локального кольца неособой точки.
Дискретные нормирования. Примеры. Локальное кольцо неособой
точки на кривой (формулировка).
- Локальное кольцо неособой точки на кривой (доказательство).
Дискретные нормирования. Целозамкнутость. Проективные
многообразия. Однородные кольца и идеалы.
- Топология Зарисского на проективных многообразиях. Аффинные
карты. Примеры. Координатное кольцо проективного многообразия.
Поле рациональных функций. Локальное кольцо и максимальный
идеал. Глобальные регулярные функции - только константы
(доказательство не закончено).
- Глобальные регулярные функции - только константы.
квазипроективные многообразия. Морфизмы. Изоморфизмы.
Свойства. Примеры. Рациональные и бирациональные отображения.
Примеры.
Весенний семестр.
- Дивизоры Вейля на алгебраических многообразиях. Дивизоры и
дискретные нормирования. Случай кривых. Главные
дивизоры. Линейная эквивалентность. Группа
классов. Примеры вычислений: аффинные и проективные
пространства. Точная последовательность вырезания.
- Нормальные многообразия. Примеры. Нормальные и неособые
точки. Особенности нормальных многообразий. Фактормногообразия
по конечной группе (определение и примеры).
- Нормализация. Локально главные дивизоры. Дивизоры Картье.
Пример: проективное пространство. Отображение f^* для
дивизоров. Свойства. Линейные системы. Пример:
проективное пространство.
- Линейные системы и рациональные отображения. Базисное
множество линейной системы. Обсуждение. Примеры. Вложения
Веронезе и вложения Сегре.
- Дифференциальные формы. Локальная запись. Рациональные
дифференциальные формы. Размерность пространства
рациональных форм. Канонический дивизор. Примеры (аффинные и
проективные пространства). Поведение рациональных форм
при отображениях. Поведение регулярных форм при
отображениях (формулировка).
- Поведение регулярных форм при отображениях
(доказательство). Канонический класс кривых. Род. Формула
присоединения. Примеры: плоские кривые и кривые на квадрике.
Теорема Бертини (формулировка).
- Дивизоры и рациональные отображения. Теорема Римана-Роха на
кривых (формулировка). Приложения теоремы Римана-Роха: кривые
рода 0 и 1, групповой закон на эллиптической кривой. Вложения
кривых в проективные пространства. Кривые на P^1 x P^1.
Каноническое отображение. Пример (кривые рода 3).
Гиперэллиптические и негиперэллиптические кривые.
Список задач
Литература.
Основные источники:
- Шафаревич, И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1
& 2 Наука, 1988
- Атья, М. & Макдональд, И. Введение в коммутативную
алгебру
- Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия Мир, 1981
Комплексная геометрия:
- Спрингер, Д. Введение в теорию римановых поверхностей
- Форстер О. Римановы поверхности.
- Гриффитс, Ф. & Харрис, Д. Принципы алгебраической
геометрии. Т. 1 & 2 Мир, 1982
Для начинающих:
- Рид, М. Алгебраическая геометрия для всех Мир, 1991
back to my homepage