algebra-3

Алгебра III , 241 группа (МФиФМ), осень 2022 г.
Лектор: Прохоров Юрий Геннадьевич

Расписание

вторник, 9:00-10:35 (вторая неделя), ауд. 15-03
четверг, 10:45-12:20, ауд. 15-03

Семинары (А. С. Трепалин)

вторник, 9:00-10:35 (первая неделя), ауд. 15-03
четверг, 13:15-14:50, ауд. 15-03

Объявления

Консультация:

23 января в 11:00, ауд. 1226а.
Экзамен состоится 24 января
Программа экзамена
Краткие записки лекций (pdf)

Краткое cодержание прочитанных лекций

Лекция 1 (6 сентября). Смежные классы. Теорем Лагранжа. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы. Автоморфизмы. Примеры. Внутренние автоморфизмы. Нормальные подгруппы. Примеры. Центр группы. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Прямые произведения групп.
Лекция 2 (8 сентября). Прямые произведения групп. Примеры. Абелевы группы. Аддитивная запись. Линейная зависимость. Конечная порожденность. Свободные абелевы группы. Базисы. Универсальное свойство свободных абелевых групп. Целочисленные матрицы и элементарные преобразования над ними. Приведение целочисленной матрицы к диагональному виду. Лемма о согласованных базисах. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических.
Лекция 3 (13 сентября). Подгуппа свободной абелевой группы конечно прождена. Лемма о факторизации по слагаемым. Примарные циклические группы. Разложение циклических групп в прямую сумму. Доказательство теоремы о строении конечно порожденных абелевых групп (существование разложения и единственность). Подгруппа кручения. Фактор по ней - свободная группа. Подгруппа р-кручения.
Лекция 4 (15 сентября). Выделение $\mathrm{Tor}(A)$ прямым слагаемым. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму $p$ -групп $\mathrm{Tor}_{(p)}(A)$ . Разложение конечной абелевой $p$ -группы в прямую сумму циклических. Показатель группы. Элемент порядка $\mathrm{exp}(A)$ в конечной абелевой группе. Дискретные подгруппы в $\mathbb{R}^n$ . Их свойства. pdf
Лекция 5 (20 сентября). Действия групп на множествах. Много примеров. Орбита и стабилизатор. Действия группы на себе. Теорема Кэли. Свойства орбит. Связь орбиты и стабилизатора. Число элементов орбиты. $p$ -группы. Центр $p$ -группы.
Лекция 6 (23 сентября). Группы порядка $p^2$ . Теоремы Силова. Примеры силовских подгрупп. Определение коммутанта группы.
Лекция 7 (29 сентября). Коммутант группы. Его свойства. Коммутант групп порядка $pq$ . Разрешимые группы. Из свойства. Разрешимость группы верхнетреуголных матриц. Неразрешимость знакопеременной группы $\mathrm{A}_n,\quad n\ge5$ и специальной линейной группы $\mathrm{SL}_n(\mathbf{k})$ .
Лекция 8 (4 октября). Полупрямые произведения. Примеры. Свойства. Простые группы. Композиционный ряд. Простота $\mathrm{A}_5$ .
Лекция 9 (6 октября). Простота $\mathrm{A}_5,\quad n\ge 5.$ Простота $\mathrm{PSL}_n(\mathbf{k})$ (доказательство только для случая $n=2$ .
Лекция 10 (13 октября). Простота $\mathrm{SO}_3(\mathbb R)$ . Кольца. Идеалы. Примеры. Конструкция факторкольца.
Лекция 11 (18 октября). Теорема о гомоморфизме колец. Простота кольца матриц над полем. Модули над кольцами. Примеры. Фактормодули. Гомоморфизмы. Теорема о гомоморфизме модулей.
Лекция 12 (20 октября). Коммутативные кольца. Простые и максимальные идеалы. Существование максимального идеала. Факториальные кольца. Примеры. Кольца главных идеалов. Примеры. Наибольший общий делитель. Факториальность кольца главных идеалов. Целые элементы.
Лекция 13 (25 октября). Китайская теорема об остатках. Следствия. Поля. Расширения полей. Простые поля. Алгебраические и трансцендентные элементы.
Лекция 14 (27 октября). Алгебраические расширения полей. Теорема о башне полей. Минимальные многочлены. Целые расширения колец. Целозамкнутые кольца. Целозамкнутость факториальных колец. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена (1).
Лекция 15 (1 ноября). Присоединение к полю корня неприводимого многочлена (2). Поле разложения многочлена. Примеры. Конструкция алгебраического замыкания поля.
Лекция 16 (3 ноября). Отображение Фробениуса. Конечные поля (3 теоремы о строении конечных полей). Группа обратимых элементов кольца вычетов $ℤ / p^{m} ℤ$
Лекция 17 (15 ноября). Алгебры над полем (свойства, идеалы, теорема о гомоморфизма итд.). Примеры. Алгебра кватернионов. Теорема Фробениуса.
Лекция 18 (17 ноября). Представление кватернионов матрицами $2\times 2$ . Гомоморфизмы $\mathrm{SU}_2 \to \mathrm{SO}_3$ и $\mathrm{SU}_2\times \mathrm{SU}_2\to \mathrm{SO}_4$ . Конечные кольца с делением (теорема Веддербарна).
Лекция 19 (29 ноября). Сепарабельные элементы. Сепарабельные и чисто несепарабельные расширения полей. Сепарабельное замыкание. Совершенные поля. Примеры. Теорема о примитивном элементе. Задачи.
Лекция 20 (1 декабря). Продолжение автоморфизмов расширений. Нормальные расширения полей. Группа автоморфизмов расширений. Расширения Галуа.
Лекция 21 (8 декабря). Расширения Галуа. Группа Галуа. Основная теорема теории Галуа. Квадратично замкнутые поля. Задача об удвоении куба.
Лекция 22 (13 декабря). Геометрические задачи на построение. Радикальные расширения. Циклические расширения.
Лекция 23 (15 декабря). Разрешимость алгебраических уравнений в радикалах. Трансцендентные расширения полей. Базисы трансцендентности.

Краткие записки лекций (pdf)

Задачи

Сборник задач по алгебре под редакцией А.И.Кострикина. Москва, МЦНМО
Задачи (pdf)

Литература

Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Наука, 1977 (есть новое издание в 3-х томах)
Винберг, Э. Б. Курс алгебры. Факториал, 2001
Ленг, С. Алгебра. Мир, 1968
см. также