Спецкурс "Классическая алгебраическая геометрия"

Весна 2023 г.

Спецкурс
Классическая алгебраическая геометрия

Объявления.

Появился список задач
Слушателям, желающим сдавать экзамен, нужно написать мне до вторника включительно.

Лекции будут читаться по средам 16:00-18:00, в МИАНе, комната 104.
Первая лекция: 8 февраля.
Лекции транслируются через ZOOM Link: напишите мне.
Видеозаписи лекций.

Задачи

Краткое содержание лекций:

Квадрики и пересечения квадрик. Алгебраические многообразия, представимые в виде пересечения квадрик. Примеры. Вложения Веронезе. Вложения Сегре. Любое многообразие может быть задано как пересечение квадрик. Грассманианы: аффинные карты, подмногообразие $\sigma_1$ , вложение Плюккера, квадрики определяющие грассманиан. Пример: $G r (2, 4).$ $Конспект.$
Грассманианы. Исчисление Шуберта. Примеры. Линейные подпространства в $G r (2, 4).$ $Конспект.$
Квадрики. Свойства. Рациональность. Стереогафическая проекция. Пространство квадрик. Подмногообразия $\Delta_k$ особых квадрик. Примеры. Разрешение особенностей $\Delta_1$ . Вычисление когомологий квадрик. Линейные подмногообразия в квадриках.
Семейство линейных подмногообразий в квадриках (семейство $Σ (k + 1, n + 2)$ ). Размерность. Гладкость. Класс когомологий в грассманиане. Компоненты связности $\Sigma(k+1,2k+2)$ . Серединные когомологии квадрики четной размерности.
Пересечение двух квадрик. Характеристические числа. Критерий гладкости и канонический вид. Общие факты о полных пересечениях. Автоморфизмы. Пример: одномерное пересечение двух квадрик. Когомологии пересечения двух квадрик. Конспект.
Пересечение двух квадрик. Прямые, проходящие через точку. Проекция из точки. Бирациональные свойства (рациональность). Автоморфизмы. Группа Г. Многообразия Фано (введение). Простейшие свойства. Четномерное пересечение двух квадрик. Линейные подмногообразия промежуточной размерности. Ожидаемое количество. Поверхности дель Пеццо. Простейшие свойства. Прямые на поверхности дель Пеццо степени 4. Конспект.
Поверхности дель Пеццо степени 4. Прямые. Проекция из прямой. Конфигурация прямых. Решетка Пикара. Коники. Пучки коник. Связь с вырожденными элементами пучка квадрик. Система корней. Группа Вейля и автоморфизмы.
Трехмерное пересечение двух квадрик. Лемма о гиперплоском сечении. Нормальные пучки прямых. Семейство прямых $A$ : гладкость и размерность. Кривые $C_L$ на поверхности прямых $A$ . Степень и род. Немного о раздутиях подмногообразий. Бирациональная перестройка, связанная с прямой. Связь поверхности $A$ с кривой $C_L$ . Симметрические квадраты кривых.
Трехмерное пересечение двух квадрик. Симметрический квадрат эллиптической кривой. Симметрический квадрат кривой рода 2. Семейство прямых на трехмерном пересечениии двух квадрик - абелева поверхность. Абелевы поверхности (общие свойства). Поляризация. Два типа главной поляризации.
Куммеровы поверхности. Абелевы поверхности: изогении, двойственное абелево многообразие, поляризации. Поверхности типа К3 (определение и примеры). Куммеровы поверхности. Отбражение линейной системой $|2\Theta|$ $\$ для абелевых поверхностей.
Заключительная лекция.

Для студентов мех-мата МГУ и ВШЭ: курс засчитывается учебной частью

Полезная литература

Шафаревич, И. Р. Основы алгебраической геометрии. Наука, 1988
Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия. Мир, 1981
Гриффитс, Ф. & Харрис, Д. Принципы алгебраической геометрии. Т. 1- 2 Мир, 1982

Более специальные источники

Тюрин, А. Н. О пересечении квадрик. Успехи мат. наук., 1975, 30, 51-99 pdf
Reid, M. The complete intersection of two or more quadrics, Phd Thesis, 1972, pdf
Dolgachev, I. Сlassical Algebraic Geometry: a modern view. Cambridge. University Press, 2012. pdf

Краткое описание курса:
Курс посвящен одному из важнейших разделов алгебраической геометрии. Считается, что любой
образованный геометр должен быть знаком с классической проективной геометрией - она является
основным источником задач, примеров, идей и объектов изучения. В основном планируется обсудить
алгебраические многообразия, представимые в виде пересечения двух квадрик. На примере этих
многообразий будут подробно объясненны основные понятия и конструкции алгебраической геометрии.

План курса:

Квадрики в проективном пространстве.
Грассманианы. Исчисление Шуберта.
Инварианты полных пересечений в проективном пространстве.
Одномерные пересечение двух квадрик. Эллиптические кривые.
Двумерные пересечение двух квадрик. Поверхности дель Пеццо.
Одномерное пересечение трех квадрик. Канонические кривые рода 5.
Двумерное пересечение трех квадрик. Поверхности типа К3.
Многомерное пересечение двух квадрик. Квадратичный комплекс прямых. Рациональность.
Бирациональные перестройки. Когомологии. Промежуточный якобиан.
Многомерное пересечение трех квадрик. Восстановление по кривой вырождения. Промежуточный якобиан. Теорема Торелли.

Проход в здание МИАН осуществляется в соответствии с общими правилами МИАН, а именно, возможны следующие варианты:

Участник предъявляет пропуск МИАН.

Участник говорит, что идет в НОЦ, называет курс/семинар и показывает свой пропуск, относящийся к организации, занимающейся наукой или образованием (например, пропуск МГУ, пропуск ФИАН). При этом пропуск должен быть не просрочен. Внимание: с 03 октября от участников, подпадающих под этот пункт, будет требоваться, помимо действующего пропуска научной организации, еще и паспорт.

Участник есть в списке НОЦ на текущий семестр, имеющийся у охраны. Тогда, помимо указания НОЦ и называния курса/семинара, достаточно показать паспорт.

Участника встречает любой из сотрудников МИАН.
Через две недели после начала семестра охране подаются списки для прохода, состоящие из зарегистрировавшихся участников курсов/семинаров.