Спецкурс "Классическая алгебраическая геометрия"

Весна 2023 г.

Спецкурс
Классическая алгебраическая геометрия

Объявления.
Следующая лекция (22 марта) пройдет в Зуме. Ссылка будет выслана по списку.

Лекции будут читаться по средам 16:00-18:00, в МИАНе, комната 104.
Первая лекция: 8 февраля.
Лекции транслируются через ZOOM Link: напишите мне. Видеозаписи лекций.

Краткое содержание лекций:

Квадрики и пересечения квадрик. Алгебраические многообразия, представимые в виде пересечения квадрик. Примеры. Вложения Веронезе. Вложения Сегре. Любое многообразие может быть задано как пересечение квадрик. Грассманианы: аффинные карты, подмногообразие $\sigma_1$ , вложение Плюккера, квадрики определяющие грассманиан. Пример: $G r (2, 4).$ Задачи $.Конспект.$
Грассманианы. Исчисление Шуберта. Примеры. Линейные подпространства в $G r (2, 4). Задачи .$ $Конспект.$
Квадрики. Свойства. Рациональность. Стереогафическая проекция. Пространство квадрик. Подмногообразия $\Delta_k$ особых квадрик. Примеры. Разрешение особенностей $\Delta_1$ . Вычисление когомологий квадрик. Линейные подмногообразия в квадриках. Задачи.
Семейство линейных подмногообразий в квадриках (семейство $Σ (k + 1, n + 2)$ ). Размерность. Гладкость. Класс когомологий в грассманиане. Компоненты связности $\Sigma(k+1,2k+2)$ . Серединные когомологии квадрики четной размерности. Задачи.
Пересечение двух квадрик. Характеристические числа. Критерий гладкости и канонический вид. Общие факты о полных пересечениях. Автоморфизмы. Пример: одномерное пересечение двух квадрик. Когомологии пересечения двух квадрик. Задачи. Конспект.

Для студентов мех-мата МГУ и ВШЭ: курс засчитывается учебной частью

Полезная литература

Шафаревич, И. Р. Основы алгебраической геометрии. Наука, 1988
Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия. Мир, 1981
Гриффитс, Ф. & Харрис, Д. Принципы алгебраической геометрии. Т. 1- 2 Мир, 1982

Более специальные источники

Тюрин, А. Н. О пересечении квадрик. Успехи мат. наук., 1975, 30, 51-99 pdf
Reid, M. The complete intersection of two or more quadrics, Phd Thesis, 1972, pdf
Dolgachev, I. Сlassical Algebraic Geometry: a modern view. Cambridge. University Press, 2012. pdf

Краткое описание курса:
Курс посвящен одному из важнейших разделов алгебраической геометрии. Считается, что любой
образованный геометр должен быть знаком с классической проективной геометрией - она является
основным источником задач, примеров, идей и объектов изучения. В основном планируется обсудить
алгебраические многообразия, представимые в виде пересечения двух квадрик. На примере этих
многообразий будут подробно объясненны основные понятия и конструкции алгебраической геометрии.

План курса:

Квадрики в проективном пространстве.
Грассманианы. Исчисление Шуберта.
Инварианты полных пересечений в проективном пространстве.
Одномерные пересечение двух квадрик. Эллиптические кривые.
Двумерные пересечение двух квадрик. Поверхности дель Пеццо.
Одномерное пересечение трех квадрик. Канонические кривые рода 5.
Двумерное пересечение трех квадрик. Поверхности типа К3.
Многомерное пересечение двух квадрик. Квадратичный комплекс прямых. Рациональность.
Бирациональные перестройки. Когомологии. Промежуточный якобиан.
Многомерное пересечение трех квадрик. Восстановление по кривой вырождения. Промежуточный якобиан. Теорема Торелли.

Проход в здание МИАН осуществляется в соответствии с общими правилами МИАН, а именно, возможны следующие варианты:

Участник предъявляет пропуск МИАН.

Участник говорит, что идет в НОЦ, называет курс/семинар и показывает свой пропуск, относящийся к организации, занимающейся наукой или образованием (например, пропуск МГУ, пропуск ФИАН). При этом пропуск должен быть не просрочен. Внимание: с 03 октября от участников, подпадающих под этот пункт, будет требоваться, помимо действующего пропуска научной организации, еще и паспорт.

Участник есть в списке НОЦ на текущий семестр, имеющийся у охраны. Тогда, помимо указания НОЦ и называния курса/семинара, достаточно показать паспорт.

Участника встречает любой из сотрудников МИАН.
Через две недели после начала семестра охране подаются списки для прохода, состоящие из зарегистрировавшихся участников курсов/семинаров.