Спецкурс НОЦ МИАН (официальная страница), читавшийся Д. Пирожковым в весеннем семестре 23/24 года.
Проходил по вторникам в 18:00, в кабинете 313 (МИАН, ул. Губкина, 8).
По курсу проводился домашний экзамен: вот условия задач. Для получения максимальной оценки достаточно полностью решить любые пять из семи задач. Решения присылайте мне на почту dpirozhkov@mi-ras.ru. Если хотите официально сдать курс, укажите в письме, как вас зовут (ФИО, желательно ВУЗ).
ДЕДЛАЙН СДАЧИ ЭКЗАМЕНА: 23:59 вторника 7 мая 2024. Если вам не хватает времени или есть какие-то вопросы по формулировкам задач, пишите на почту!
UPDATE: По запросам трудящихся я записал несколько открытых вопросов, которые довольно близки к задачам экзамена. Это не набор важнейших вопросов науки, а скорее наоборот — набор любопытных вопросиков, на которые, насколько мне известно, никто пока не умеет отвечать. Это документ чисто для развлечения, читать его не обязательно, но если интересно — вот.
13.02.2024: Лекция 1 (записки, видео)
Общий обзор курса. Определение триангулированной категории, некоторые свойства, обсуждение аксиомы октаэдра. Гомотопическая категория комплексов как пример триангулированной категории. Производная категория абелевой категории.
20.02.2024: Лекция 2 (записки, видео)
Свойства производных категорий. Обрезания комплексов и морфизмы в производной категории. Производные функторы.
27.02.2024: Лекция 3 (записки, видео)
Функторы между производными категориями когерентных пучков. Двойственность Серра. Теорема Бондала-Орлова о реконструкции многообразия по производной категории.
05.03.2024: В ЭТОТ ДЕНЬ ЛЕКЦИИ НЕ БУДЕТ!
12.03.2024: Лекция 4 (записки, видео)
Формула проекции и двойственность Гротендика—Вердье. Преобразования Фурье—Мукаи. Примеры ядер Фурье—Мукаи для естественных функторов. Теорема Орлова о существовании ядра для строго полного функтора (без доказательства). Теорема Мукаи (начало).
19.03.2024: Лекция 5 (записки, видео)
Теорема Мукаи (продолжение). Понятие классического генератора, теорема об их существовании.
26.03.2024: Лекция 6 (записки, видео)
Свойства категорий с генераторами. Сильные генераторы, построение с помощью резольвенты диагонали. Размерность Рукье.
02.04.2024: Лекция 7 (записки, видео)
Полуортогональные разложения. Исключительные объекты, исключительные наборы.
09.04.2024: Лекция 8 (записки, видео)
Перестройки полуортогональных разложений. Действие группы кос. Теорема Каватани–Окавы о жёсткости полуортогональных разложений.
16.04.2024: Лекция 9 (записки, видео)
Полуортогональные разложения в малых размерностях: классификация разложений для проективной прямой, неразложимость производных категорий для кривых положительного рода (и вообще многообразий с глобально порождённым каноническим классом). Исключительные расслоения на проективной плоскости.
23.04.2024: Лекция 10 (записки, видео)
Полуортогональные разложения для проективизации расслоения и для раздутия с гладким центром.
Производная категория когерентных пучков — очень большой, но важный инвариант алгебраического многообразия. Изначально производные категории использовались скорее как технический инструмент для удобства работы с производными функторами и двойственностью Гротендика, но впоследствии оказалось, что производные категории когерентных пучков интересны и сами по себе.
Свойства производной категории сильно зависят от геометрии многообразия, но при этом для некоторых многообразий оказывается, что производные категории имеют на удивление понятную с алгебраической точки зрения структуру. Мы обсудим некоторые способы работать с производными категориями когерентных пучков и их базовые свойства.
Пререквизиты: от слушателей предполагается знание основ алгебраической геометрии (нужно знать, что такое когерентный пучок на алгебраическом многообразии), а также желательно знакомство со спектральными последовательностями.
Часть I: производные категории как инвариант многообразия.
Часть II: полуортогональные разложения производных категорий.
* – темы могут быть пропущены в зависимости от интересов слушателей и количества свободного времени.
Первая часть курса наиболее похожа на изложение в книге Д. Хёйбрехтса “Fourier—Mukai Transforms in Algebraic Geometry”, которую я очень рекомендую. Вторая половина, включая рассказ о размерности Рукье, читается в основном по текстам статей.