Информация про курс "введение в алгебраическую геометрию"
Внимание: экзамен по курсу состоится в пятницу, 12 мая, в 18:00,
в комнате 540 МИАН (или, если в это время вы не можете -- по
договренности). Формат тот же, что и в прошлом семестре -- билеты
с теоретическим вопросом и задачами.
Курс читается в Научно-Образовательном Центре (НОЦ)
Математического Института им. Стеклова,
в здании Института по адресу ул. Губкина, 8, по вторникам, с 18:00 до
примерно 20:30.
Цель курса -- дать общее введение в алгебраическую геометрию для
студентов от 2го курса и выше (мы предполагаем, что вы прослушали
стандартный курс алгебры в объеме 1го курса мех-мата). Поскольку современная
алгебраическая геометрия -- наука большая и повсюду проникшая, никакого
более-менее полного изложения ее в рамках лекционного курса дать
нельзя, и надо самостоятельно изучать литературу. А на лекциях мы
постараемся вкратце разъяснить основные понятия, отметить тонкие места
и разобрать базовые примеры.
Примерная программа лежит здесь.
А здесь -- список литературы.
Конспекты лекций.
Примечание: мы используем руссификацию TeXа имени А. Шеня и
С. Львовского (ту же, что обычно используется в Независимом
Университете); если у вас другая версия, возможно придется
немного поправить заголовки файлов.
Лекция 1 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Понятие аффинного алгебраического многообразия. Словарь
алгебра/геометрия: максимальный и простой спектры, теорема Гильберта
о нулях, топология Зарисского. Кратные пересечения и результант.
Лекция 2 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Открытые по Зарисскому множества, локализация, локальные
кольца. Модули и операции над ними. Тензорные
произведения. Неразветвленные накрытия, теория Галуа.
Лекция 3 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Приведенные и неприводимые схемы, области целостности. Нетеровы
модули и кольца. Теорема Гильберта о базисе. Размерность по Круллю
(определение). Ассоциированные идеалы, примарные разложения. Плоские
модули (определение). Ветвление и дискриминант.
Лекция 4 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Кольца дискретного нормирования. Дивизоры. Целые замыкания,
нормальные кольца. Лемма Хартогса. Нормализация и
ветвление. Накрытия Галуа колец дискретного нормирования, группы
разложения и инерции.
Лекция 5 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Градуированные модули; ряд Пуанкаре, полином Гильберта. Фильтрации и
лемма Артина-Риса. Теория размерности. Пополнения. Лемма Гензеля и
структура разветвленных накрытий над полным кольцом дискретного
нормирования.
Лекция 6 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Регулярные кольца. Дифференцирования и касательные векторы. Модуль
кэлеровых дифференциалов. Регулярность и дифференциалы. Ветвление,
дифференциалы и дифферента. Теорема Коэна о поле представителей.
Лекция 7 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Пучки и операции с ними. Этальное пространство пучка;
ассоциированный пучок. Определение схемы.
Лекция 8 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Аффинные схемы как частный случай общих. Морфизмы схем. Элементарные
свойств схем и когерентных пучков; операции с ними. Проективный
спектр и проективные схемы. Раздутия.
Лекция 9 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Когерентные пучки на проективном спектре --- теорема Серра.
Отображения в проективные пространства и линейные системы.
Обильные и очень обильные пучки.
Лекция 10 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Отделимость. Собственность. Дивизоры Вейля и Картье.
Группа классов дивизоров и группа Пикара.
Лекция 11 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Рациональные отображения. Линейные системы. Бирациональная эквивалентность.
Кривые. Дивизоры на кривых. Канонический класс и род кривой.
Лекция 12
-
Базовые понятия гомологическое алгебры -- длинная точная последовательность
когомологий, проективные резольвенты, функторы Tor и т.д. Записи лекции
нет, т.к. материал очень стандартный -- см. любой из десятков существующих
в природе учебников гомологической алгебры.
Лекция 13 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Гомологическая теория локальных колец: проективная размерность,
глубина и регулярные последовательности, комплекс Кошуля,
характеризация Серра регулярных колец.
Лекция 14 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Когомологии пучков, инъективные и вялые пучки. Инъективные модули
над кольцом. Когомологии пучков на схеме.
Лекция 15 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Когомологии Чеха. Локальные когомологии. Когомологии проективного
пространства. Двойственность Серра-Гротендика, локальная и
глобальная. Теорема Серра об обращении в ноль.
Лекция 16 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Плоские морфизмы. Теорема замены базы. Плоские семейства и полином
Гильберта.
Лекция 17 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Спектральная последовательность Лере.
Когерентность высших прямых образов при проективном морфизме.
Теорема полунепрерывности.
Лекция 18 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Теорема о формальных функциях. Факторизация Штейна.
Глакие морфизмы. Теорема Бертини.
Лекция 19 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Род кривой. Теорема Римана--Роха. Теорема Гурвица.
Гиперэллиптические кривые. Каноническое вложение. Эллиптические кривые.
Лекция 20 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Теория пересечения на поверхности. Формула присоединения.
Теорема Римана--Роха на поверхности. Раздутия. Бирациональные инварианты.
Лекция 21 [ TeX |
Gzipped Postscript ]
-
Бирациональные преобразования поверхностей. Минимальные модели. Численная эффективность. Линейчатые поверхности. Классификация.